Matematica discreta Esempi

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

Passaggio 1

Sottrai $\cos (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Somma $79 \sin^{2} (x)$ e $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Fattorizza $- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $81 \sin^{2} (x)$ come ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

Passaggio 3.3

Riordina $- 1^{2}$ e ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 9 \sin (x)$ e $b = 1$ .

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $9 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $9 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $9 \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 \sin (x) = - 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

Passaggio 5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

Passaggio 5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Calcola $\arcsin (- \frac{1}{9})$ .

$x = - 0.11134101$

Passaggio 5.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

Passaggio 5.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

Passaggio 5.2.6.2

L'angolo risultante di $3.25293366$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 3.25293366$

Passaggio 5.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Somma $2 π$ a $- 0.11134101$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.11134101 + 2 π$

Passaggio 5.2.8.2

Sottrai $0.11134101$ da $2 π$ .

$6.17184429$

Passaggio 5.2.8.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 6.17184429$

Passaggio 5.2.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $9 \sin (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $9 \sin (x) - 1$ uguale a $0$ .

$9 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $9 \sin (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 \sin (x) = 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (x) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 \sin (x) = 1$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{1}{9})$ .

$x = 0.11134101$

Passaggio 6.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Passaggio 6.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

Passaggio 6.2.6.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

Passaggio 6.2.6.3

Sottrai $0.11134101$ da $3.14159265$ .

$x = 3.03025163$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

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Passaggio 8.1

Combina $3.25293366 + 2 π n$ e $0.11134101 + 2 π n$ in $0.11134101 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8.2

Combina $6.17184429 + 2 π n$ e $3.03025163 + 2 π n$ in $3.03025163 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ , per qualsiasi intero $n$